Второй замечательный предел
Второй замечательный предел — это специальная математическая формула с числом $e$ (числом Эйлера), которая помогает быстро решать задачи с неопределённостью вида «единица в степени бесконечность» $\left[1^\infty\right]$ [INDEX]:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \left[1^\infty\right] = e \quad \text{или} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = \left[1^\infty\right] = e$$
Главный секрет решения — искусственно подогнать выражение под этот шаблон. Запомните базовое правило: слагаемое в скобке и показатель степени должны быть строго обратны друг другу (перевёрнуты). Если в скобке стоит $\frac{1}{3x}$, то в степени обязано стоять $3x$. Как только эта пара создана, она мгновенно сворачивается в число $e$, а оставшийся «хвост» степени вычисляется как простой предел.
Пошаговый алгоритм решения
- Убедиться с помощью подстановки, что предел действительно дает неопределенность $\left[1^\infty\right]$.
- Выделить в основании скрытую единицу вида $(1 + f(x))$. Если основание дано целой дробью, почленно разделить числитель на знаменатель или прибавить/вычесть число в числителе.
- Выписать перевернутую функцию из скобки — это та идеальная степень $\frac{1}{f(x)}$, которая требуется для сборки числа $e$.
- Искусственно записать эту перевернутую функцию в показатель степени, и сразу же за скобками компенсировать ее (умножить на обратную ей).
- Свернуть внутренний блок в число $e$, а оставшийся внешний «хвост» степени вычислить как обычный предел.
Примеры решений задач
Пример 1
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{3x}$
Решение:
При устремлении икса к бесконечности дробь $\frac{4}{x}$ превращается в ноль, а скобка стремится к единице. Получаем неопределённость $\left[1^\infty\right]$. Чтобы собрать второй замечательный предел, перевернём слагаемое $\frac{4}{x}$ — искомым элементом для степени является дробь $\frac{x}{4}$.
Искусственно организуем эту структуру в показателе степени. Домножим степень на $\frac{x}{4}$ и сразу же компенсируем это, умножив на обратный коэффициент $\frac{4}{x}$:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{x} \cdot 3x}$$
Заключим базовый шаблон предела в квадратные скобки и сократим переменные в оставшемся внешнем хвосте степени ($\frac{4}{x} \cdot 3x = 12$):
$$\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{\frac{x}{4}} \right]^{12}$$
Внутренняя конструкция в квадратных скобках по второму замечательному пределу равна числу $e$. Так как внешняя степень превратилась в константу 12, мы моментально получаем финальный числовой ответ.
$$e^{12}$$
Ответ. $e^{12}$
Пример 2
Найдите предел последовательности: $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^{2x}$
Решение:
Перед нами неопределённость $\left[1^\infty\right]$, но здесь основание предела дано в виде единой дроби. Наша первая задача — искусственно выделить в основании скрытую единицу. Для этого прибавим и вычтем в числителе число, стоящее в знаменателе (то есть вычтем 1 и прибавим 1):
$$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x - 1 + 1 + 3}{x-1} = \frac{(x-1) + 4}{x-1} = 1 + \frac{4}{x-1}$$
Перепишем исходный preдел с выделенной единицей:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x-1}\right)^{2x}$$
Теперь подгоняем показатель степени под перевёрнутое слагаемое дроби, которым является $\frac{x-1}{4}$. Домножим и разделим степень на эту структуру:
$$\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{4}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{4}} \right]^{\frac{4}{x-1} \cdot 2x}$$
Внутренняя структура сворачивается в число $e$. Рассчитаем предел оставшегося внешнего показателя степени на бесконечности методом деления на старшую степень $x$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{8x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8x}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \frac{8}{1 - 0} = 8$$
Окончательно собираем ответ: число $e$ возводится в получившуюся степень 8.
Ответ. $e^8$
Пример 3
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 5}{2x + 1}\right)^{4x - 3}$
Решение:
Подстановка даёт неопределённость $\left[1^\infty\right]$. Выделим единицу в основании дроби методом группировки числителя по знаменателю:
$$\frac{2x+5}{2x+1} = \frac{2x + 1 + 4}{2x+1} = 1 + \frac{4}{2x+1}$$
Внедряем преобразованное основание под знак предела:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{2x+1}\right)^{4x - 3}$$
Составим сопряжённый перевёрнутый элемент для степени: нам требуется величина $\frac{2x+1}{4}$. Искусственно формируем её в показателе и сразу компенсируем:
$$\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{4}{2x+1}\right)^{\frac{2x+1}{4}} \right]^{\frac{4}{2x+1} \cdot (4x - 3)}$$
Базовый внутренний блок превращается в $e$. Нам остаётся вычислить предел дробного выражения во внешней степени при иксе, стремящемся к бесконечности:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot (4x - 3)}{2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{16x - 12}{2x + 1}$$
Разделим числитель и знаменатель этой верхней дроби на старшую степень переменной, то есть на $x$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{16x}{x} - \frac{12}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{16 - 0}{2 + 0} = 8$$
Полученное число высаживается в показатель степени основания $e$.
Ответ. $e^8$
Пример 4
Найдите предел тригонометрического выражения: $\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{\frac{3}{x}}$
Решение:
В данной задаче переменная стремится к нулю. Синус нуля равен нулю, а степень $\frac{3}{0}$ уходит в бесконечность, что порождает классическую неопределённость $\left[1^\infty\right]$. Нам нужно применить вторую форму замечательного предела.
Перевёрнутым элементом для слагаемого $\sin x$ является степень $\frac{1}{\sin x}$. Сформируем её искусственным путём:
$$\lim_{x \to 0} \left[ (1 + \sin x)^{\frac{1}{\sin x}} \right]^{\sin x \cdot \frac{3}{x}}$$
Внутренний блок в квадратных скобках при $x \to 0$ равен числу $e$. Найдём предел оставшейся внешней надстройки показателя степени:
$$\lim_{x \to 0} \left(3 \cdot \frac{\sin x}{x}\right)$$
Конструкция $\frac{\sin x}{x}$ — это Первый замечательный предел, который при стремлении к нулю равен единице. Проведём итоговое умножение: $3 \cdot 1 = 3$. Результатом всей задачи становится основание $e$ в кубе.
Ответ. $e^3$
Пример 5
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 0} (1 - 2x)^{\frac{5}{x}}$
Решение:
Подстановка нуля даёт неопределённость $\left[1^\infty\right]$. Обратите внимание на знак минус внутри скобки. Наш шаблон содержит строгий плюс, поэтому мы перепишем основание как $(1 + (-2x))$. Теперь чётко видно, что перевёрнутым элементом для показателя степени выступает дробь $\frac{1}{-2x}$.
Организуем эту структуру в степени:
$$\lim_{x \to 0} \left[ (1 + (-2x))^{\frac{1}{-2x}} \right]^{-2x \cdot \frac{5}{x}}$$
Внутренний блок благополучно превращается в константу $e$. Во внешнем показателе степени переменные x полностью сокращаются, оставляя чистое числовое произведение: $-2 \cdot 5 = -10$. Итоговым ответом является число e в отрицательной степени минус десять.
Ответ. $e^{-10}$