Правило Лопиталя
Правило Лопиталя — это метод вычисления пределов, основанный на использовании производных. Оно применяется для раскрытия неопределенностей вида ноль на ноль $\left[\frac{0}{0}\right]$ или бесконечность на бесконечность $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ [INDEX]:
$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Главная суть метода: предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Если после первого дифференцирования неопределенность сохраняется, правило можно применить повторно.
Пошаговый алгоритм решения
- Убедиться с помощью подстановки, что предел дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$ или $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$.
- Найти производную числителя отдельно и производную знаменателя отдельно. Важно: дробь не дифференцируется по правилу частного.
- Записать новый предел от полученного отношения производных.
- Повторно подставить предельное число $x_0$ в преобразованное выражение.
- Если неопределенность исчезла, вычислить ответ. Если осталась — применить правило Лопиталя ещё раз.
Примеры решений задач
Пример 1
Вычислите предел функции по правилу Лопиталя: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sin 2x}$
Решение:
Прямая подстановка дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Применим правило Лопиталя — найдем производные числителя и знаменателя по отдельности:
$$\lim_{x \to 0} \frac{(e^{3x} - 1)'}{(\sin 2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{2\cos 2x}$$
Повторно подставим ноль в полученное выражение:
$$\frac{3 \cdot e^0}{2 \cdot \cos 0} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$
Ответ. 1,5
Пример 2
Найдите предел дробно-рационального выражения: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3}$
Решение:
Подстановка единицы дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Дифференцируем числитель и знаменатель:
$$\lim_{x \to 1} \frac{(x^3 - 3x + 2)'}{(x^4 - 4x + 3)'} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 3}{4x^3 - 4}$$
Повторная подстановка снова дает $\left[\frac{0}{0}\right]$. Применим правило Лопиталя второй раз:
$$\lim_{x \to 1} \frac{(3x^2 - 3)'}{(4x^3 - 4)'} = \lim_{x \to 1} \frac{6x}{12x^2}$$
Сократим переменные перед финальной подстановкой:
$$\lim_{x \to 1} \frac{6}{12x} = \frac{6}{12 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$
Ответ. 0,5
Пример 3
Вычислите предел на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^2}$
Решение:
Подстановка бесконечности приводит к неопределенности $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Берем производные от верхней и нижней части дроби:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2}$$
Перейдем к пределу. Деление единицы на бесконечно большую величину дает ноль:
$$\frac{1}{\infty} = 0$$
Ответ. 0
Пример 4
Найдите предел выражения: $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$
Решение:
Имеем неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Дифференцируем по Лопиталю:
$$\lim_{x \to 0} \frac{(x - \sin x)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$$
Подстановка дает $\left[\frac{0}{0}\right]$. Дифференцируем повторно:
$$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(3x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x}$$
Снова получаем $\left[\frac{0}{0}\right]$. Применяем правило в третий раз:
$$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(6x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{\cos 0}{6} = \frac{1}{6}$$
Ответ. $\frac{1}{6}$
Пример 5
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 5}{e^{2x}}$
Решение:
Перед нами неопределенность $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Применяем правило Лопиталя:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 5)'}{(e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$$
Неопределенность $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ сохранилась. Дифференцируем еще раз:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}}$$
Числитель стал константой, а знаменатель уходит в бесконечность. Находим числовой ответ:
$$\frac{1}{\infty} = 0$$
Ответ. 0