С факториалами и степенями

Пример 1

Вычислите предел последовательности: $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x + 2}{5^{x+1} - 3}$

Решение:

Подстановка бесконечности даёт неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Старшей степенью и главным «лидером» роста в числителе и знаменателе является функция $5^x$. Перед делением преобразуем знаменатель по правилам школьных степеней, расписав слагаемое: $5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$.

Перепишем предел:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{5^x + 2}{5 \cdot 5^x - 3}$$

Почленно разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на старшую показательную функцию $5^x$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^x}{5^x} + \frac{2}{5^x}}{\frac{5 \cdot 5^x}{5^x} - \frac{3}{5^x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{5^x}}{5 - \frac{3}{5^x}}$$

Устремим переменную к бесконечности. Так как основание степени больше единицы, выражения $5^x$ неограниченно растут, а дробные слагаемые $\frac{2}{5^x}$ и $\frac{3}{5^x}$ превращаются в бесконечно малые величины и стремятся к нулю. Вычислим итоговый числовой ответ:

$$\frac{1 + 0}{5 - 0} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Ответ. 0,2

Пример 2

Найдите предел выражения: $\lim_{x \to \infty} \frac{x! + 2^x}{(x+1)! - 3^x}$

Решение:

Перед нами неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Вспоминаем нашу шкалу скорости: факториал сильнее любой показательной функции, поэтому главным лидером во всём выражении выступает именно он.

Чтобы провести упрощение, разложим больший факториал в знаменателе, выделив из него меньший: $(x+1)! = (x+1) \cdot x!$. Перепишем предел:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x! + 2^x}{(x+1) \cdot x! - 3^x}$$

Почленно разделим числитель и знаменатель на лидирующий множитель $x!$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x!}{x!} + \frac{2^x}{x!}}{\frac{(x+1) \cdot x!}{x!} - \frac{3^x}{x!}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2^x}{x!}}{x + 1 - \frac{3^x}{x!}}$$

Так как факториал растёт несоизмеримо быстрее показательной функции, при $x \to \infty$ дроби $\frac{2^x}{x!}$ и $\frac{3^x}{x!}$ стремятся к нулю. Запишем то, что осталось под знаком предела:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + 0}{x + 1 - 0} = \frac{1}{\infty} = 0$$

Деление единицы на бесконечно растущий знаменатель даёт в результате ноль.

Ответ. 0

Пример 3

Вычислите предел функции: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2^x - 4 \cdot 7^{x+1}}{5 \cdot 7^x + 2^{x-1}}$

Решение:

Подстановка даёт неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Сравним основания степеней: у нас есть двойки и семёрки. Семёрка растёт быстрее, поэтому лидером является $7^x$. Подготовим компоненты дроби, избавившись от прибавок в показателях степеней: $7^{x+1} = 7 \cdot 7^x$ и $2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = 0{,}5 \cdot 2^x$.

Перепишем предел с новыми коэффициентами:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2^x - 4 \cdot 7 \cdot 7^x}{5 \cdot 7^x + 0{,}5 \cdot 2^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2^x - 28 \cdot 7^x}{5 \cdot 7^x + 0{,}5 \cdot 2^x}$$

Почленно разделим каждое слагаемое дроби на лидирующую показательную функцию $7^x$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot \frac{2^x}{7^x} - 28 \cdot \frac{7^x}{7^x}}{5 \cdot \frac{7^x}{7^x} + 0{,}5 \cdot \frac{2^x}{7^x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^x - 28}{5 + 0{,}5 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^x}$$

Устремим переменную к бесконечности. Так как основание получившейся дроби меньше единицы ($\frac{2}{7} < 1$), показательная функция $\left(\frac{2}{7}\right)^x$ при бесконечном умножении сама на себя стремится к нулю. Вычислим ответ:

$$\frac{3 \cdot 0 - 28}{5 + 0{,}5 \cdot 0} = \frac{-28}{5} = -5{,}6$$

Ответ. -5,6

Пример 4

Найдите предел последовательности: $\lim_{x \to \infty} \frac{(x+2)! - x!}{(x+2)! + x!}$

Решение:

Прямая подстановка приводит к неопределённости $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Разложим старший факториал $(x+2)!$ в числителе и знаменателе, выразив его через меньший $x!$:

$$(x+2)! = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x! = (x^2 + 3x + 2) \cdot x!$$

Подставим полученное разложение в структуру предела:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 3x + 2) \cdot x! - x!}{(x^2 + 3x + 2) \cdot x! + x!}$$

Вынесем общий множитель $x!$ за скобки в верхней и нижней частях дроби, после чего полностью сократим его:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x! \cdot (x^2 + 3x + 2 - 1)}{x! \cdot (x^2 + 3x + 2 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 3x + 3}$$

Задача свелась к классическому делению на старшую степень многочлена, которой здесь является $x^2$. Разделим на него числитель и знаменатель:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{3}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2}}$$

Дроби со степенями икса в знаменателе уходят в ноль. Находим финальное числовое значение:

$$\frac{1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ. 1

Пример 5

Вычислите предел с факториалами: $\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)!}{(2x+3)!}$

Решение:

Подстановка даёт неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Знаменатель дроби содержит больший факториал. Распишем его пошагово, пока не дойдём до уровня числителя:

$$(2x+3)! = (2x+3) \cdot (2x+2) \cdot (2x+1)!$$

Внедрим это разложение в нижнюю часть нашей дроби:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)!}{(2x+3) \cdot (2x+2) \cdot (2x+1)!}$$

Сократим одинаковый критический множитель $(2x+1)!$ вверху и внизу дроби. В числителе остаётся единица:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(2x+3)(2x+2)}$$

Перейдём к пределу. Числитель равен константе, а скобки в знаменателе при стремлении икса к бесконечности превращаются в бесконечно большие сомножители. Перемножение двух бесконечностей даёт бесконечность. Деление единицы на бесконечно большую величину даёт ноль:

$$\frac{1}{\infty} = 0$$

Ответ. 0