Первый замечательный предел
В практических заданиях по математическому анализу при работе с тригонометрическими функциями чаще всего встречается следующая базовая модель:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \left[\frac{0}{0}\right] = 1$$
Раскрытие тригонометрических неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей вида ноль на ноль с синусами, тангенсами и аркфункциями тригонометрическую структуру приводят к базовому шаблону или используют его следствия:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Убедиться с помощью подстановки нуля, что выражение содержит неопределенность ноль на ноль.
- Выделить аргумент тригонометрической функции и создать такой же аргумент в знаменателе дроби.
- Сгруппировать полученную структуру в замечательный предел и заменить её единицей.
- Если в задаче дан косинус или тангенс, использовать формулы тригонометрии для перехода к синусам.
- Упростить оставшиеся алгебраические элементы и найти числовой ответ.
Примеры решений задач
Пример 1
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$
Решение:
Прямая подстановка нуля дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Аргумент синуса равен $5x$. Чтобы применить первый замечательный предел, в знаменателе дроби тоже должно стоять выражение $5x$. Преобразуем знаменатель, домножив его на penultimate пять и разделив на пять:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3 \cdot \frac{5x}{5}} = \lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \sin 5x}{3 \cdot 5x}$$
Вынесем постоянный числовой коэффициент за знак предела. Конструкция $\frac{\sin 5x}{5x}$ при $x \to 0$ стремится к единице:
$$\frac{5}{3} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$$
Ответ. $\frac{5}{3}$
Пример 2
Найдите предел тригонометрического выражения: $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 4x}{\sin 2x}$
Решение:
Прямая подстановка нуля приводит к неопределенности $\left[\frac{0}{0}\right]$. Разделим числитель и знаменатель дроби на переменную $x$, чтобы сформировать замечательные пределы для каждой функции по отдельности:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\operatorname{tg} 4x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}}$$
Искусственно подгоним знаменатели под аргументы функций. В числителе домножим и разделим на $4$, а в знаменателе — на $2$:
$$\lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \frac{\operatorname{tg} 4x}{4x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$$
Поскольку пределы отношений $\frac{\operatorname{tg} 4x}{4x}$ и $\frac{\sin 2x}{2x}$ равны единице, перейдем к числовому расчету:
$$\frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$
Ответ. 2
Пример 3
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{x^2}$
Решение:
Подстановка нуля дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Применим формулу понижения степени для числителя: $1 - \cos 6x = 2\sin^2 3x$. Подставим полученное выражение под знак предела:
$$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 3x}{x^2} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 3x}{x}\right)^2$$
Чтобы внутри квадрата образовался первый замечательный предел, домножим знаменатель на $3$, а числитель всей дроби — на $3^2$, то есть на $9$:
$$2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{3 \cdot \sin 3x}{3x}\right)^2 = 2 \cdot 3^2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2$$
Так как предел внутренней дроби равен единице, возведем числовые параметры в степень и найдем итоговый ответ:
$$2 \cdot 9 \cdot 1^2 = 18$$
Ответ. 18
Пример 4
Найдите предел выражения: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^3 2x}{x \cdot \operatorname{tg}^2 3x}$
Решение:
Подстановка аргумента приводит к неопределенности $\left[\frac{0}{0}\right]$. Посчитаем степени тригонометрических элементов. В числителе стоит куб синуса, в знаменателе — первая степень икса и квадрат тангенса (суммарно тоже третья степень). Разделим числитель и знаменатель выражения на $x^3$:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^3 2x}{x^3}}{\frac{x \cdot \operatorname{tg}^2 3x}{x^3}} = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{\sin 2x}{x}\right)^3}{\left(\frac{\operatorname{tg} 3x}{x}\right)^2}$$
Сформируем замечательные пределы внутри степенных скобок. Для этого в числителе введем коэффициент $2^3 = 8$, а в знаменателе — коэффициент $3^2 = 9$:
$$\lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot \left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^3}{9 \cdot \left(\frac{\operatorname{tg} 3x}{3x}\right)^2}$$
Обе скобки стремятся к единице, что позволяет полностью убрать тригонометрическую составляющую и зафиксировать финальную дробь:
$$\frac{8 \cdot 1^3}{9 \cdot 1^2} = \frac{8}{9}$$
Ответ. $\frac{8}{9}$
Пример 5
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}$
Решение:
Прямая подстановка нуля дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Преобразуем разность косинусов в числителе по формуле тригонометрии $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\sin\frac{\alpha + \beta}{2}$:
$$\cos 3x - \cos x = -2\sin\frac{3x - x}{2}\sin\frac{3x + x}{2} = -2\sin x \cdot \sin 2x$$
Подставим получившееся произведение синусов обратно в предел и распределим степени знаменателя $x^2$ под каждый множитель:
$$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x \cdot \sin 2x}{x^2} = -2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{x}\right)$$
Первая дробь представляет собой чистый первый замечательный предел. Во второй дроби искусственно создадим аргумент $2x$, домножив числитель на два:
$$-2 \cdot 2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{2x}\right) = -4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$$
Ответ. -4