Пределы с бесконечностью
Предел функции на бесконечности — это математическая процедура, описывающая поведение значений функции, когда её аргумент $x$ неограниченно возрастает или убывает, стремясь к положительной или отрицательной бесконечности ($\infty$). При анализе дробно-рациональных выражений в таких точках стандартный метод подстановки приводит к ситуации, когда и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности. Математически это порождает неопределённость вида $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$, раскрытие которой требует применения специальных алгебраических методов.
Раскрытие неопределенности делением на старшую степень
Основной метод нахождения пределов при стремлении аргумента к бесконечности заключается в искусственном преобразовании дроби. Для этого определяют переменную с наибольшим показателем степени во всём выражении, после чего почленно делят на неё каждое слагаемое в числителе и в знаменателе. Данная операция опирается на важное свойство: величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой и при вычислении предела обращается в ноль.
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \quad (n > 0)$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Убедиться, что прямая подстановка бесконечности в дробь приводит к неопределённости вида $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$.
- Найти во всём выражении (и в числителе, и в знаменателе) переменную $x$ в самой большой степени.
- Разделить каждое слагаемое верхней и нижней части дроби на эту старшую степень икса.
- Упростить полученные выражения, сократив показатели степеней в каждом отдельном слагаемом.
- Использовать правило обращения бесконечно малых дробей в ноль и вычислить окончательный числовой ответ.
Примеры решений задач
Пример 1
Вычислите предел функции на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 5}{5x^2 - 4x + 1}$
Решение:
При подстановке бесконечности вместо аргумента $x$ числитель и знаменатель неограниченно растут, что даёт неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Найдём старшую степень переменной во всём выражении. Наибольшим показателем является квадрат, то есть $x^2$. Почленно разделим каждое слагаемое дроби на $x^2$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} - \frac{5}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$$
Сократим переменные в числителе и знаменателе, упростив структуру каждого слагаемого:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}}{5 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$$
Устремим икс к бесконечности. Согласно базовым правилам математического анализа, дроби $\frac{3}{x}$, $\frac{5}{x^2}$, $\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ являются бесконечно малыми величинами и стремятся к нулю. Запишем получившийся результат:
$$\frac{2 + 0 - 0}{5 - 0 + 0} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$
Ответ. $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x - 5}{5x^2 - 4x + 1} = 0{,}4$
Пример 2
Найдите предел дробно-рационального выражения: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x + 2}{3x^2 + 5}$
Решение:
Подстановка аргумента приводит к стандартной неопределённости $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Сравним степени многочленов верхней и нижней части дроби. Старшей степенью во всём выражении является куб, то есть $x^3$. Разделим числитель и знаменатель на $x^3$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{4x}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{3x^2}{x^3} + \frac{5}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^3}}$$
Учитывая, что при стремлении переменной к бесконечности все дроби с иксом в знаменателе обращаются в ноль, вычислим предельное значение:
$$\frac{1 - 0 + 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty$$
Деление константы на бесконечно малую величину даёт бесконечно большой результат. Это означает, что скорость роста числителя превосходит скорость роста знаменателя.
Ответ. $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x + 2}{3x^2 + 5} = \infty$
Пример 3
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to \infty} \frac{7x - 9}{4x^3 + 2x^2 - 3}$
Решение:
Данная задача представляет собой случай, когда степень знаменателя строго выше степени числителя. Подстановка даёт неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Самой старшей степенью выражения выступает куб $x^3$. Проведём почленное деление каждого элемента на $x^3$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7x}{x^3} - \frac{9}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x^2} - \frac{9}{x^3}}{4 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^3}}$$
Перейдём к пределу, заменив все бесконечно малые дроби в числителе и знаменателе нулевыми значениями:
$$\frac{0 - 0}{4 + 0 - 0} = \frac{0}{4} = 0$$
Полученный нулевой результат показывает, что знаменатель дроби увеличивается значительно быстрее, чем её числитель.
Ответ. $\lim_{x \to \infty} \frac{7x - 9}{4x^3 + 2x^2 - 3} = 0$