Пределы ноль на ноль
Неопределённость вида ноль на ноль $\left[\frac{0}{0}\right]$ возникает в математическом анализе при вычислении предела дроби, у которой числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю при приближении аргумента $x$ к конкретному числу $x_0$. В отличие от простейших задач, метод прямой подстановки здесь не даёт числового ответа, так как деление на ноль в математике не определено. Для нахождения точного значения такого предела требуется провести предварительное преобразование выражения, чтобы устранить общую мнимую особенность.
Раскрытие неопределенности разложением на множители
Если числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические многочлены, то возникновение неопределённости $\left[\frac{0}{0}\right]$ при $x \to x_0$ означает, что число $x_0$ является общим корнем обоих этих многочленов. Согласно теореме Безу, каждый из них можно разложить на множители, обязательно выделив критическую скобку $(x - x_0)$. Именно этот элемент обращает дробь в ноль. После его почленного сокращения числовая особенность исчезает, и задача легко доводится до ответа методом обычной подстановки.
Пошаговый алгоритм решения:
- Убедиться путём подстановки числа $x_0$ вместо $x$, что в числителе и знаменателе действительно получается ноль.
- Разложить многочлен в числителе на множители. Для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ необходимо найти его корни $x_1$ и $x_2$ через дискриминант или теорему Виета и записать в виде $a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Аналогичным образом разложить на множители многочлен в знаменателе дроби.
- Записать предел в новом виде и сократить одинаковую критическую скобку $(x - x_0)$ вверху и внизу.
- Подставить число $x_0$ в оставшееся выражение и рассчитать финальный числовой ответ.
Примеры решений задач
Пример 1
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9}$
Решение:
Проверим тип неопределённости прямой подстановкой тройки вместо переменной $x$:
$$\frac{3^2 - 5 \cdot 3 + 6}{3^2 - 9} = \frac{9 - 15 + 6}{9 - 9} = \left[\frac{0}{0}\right]$$
Мы получили неопределённость. Чтобы раскрыть её, разложим числитель на множители. Приравняем квадратный трёхчлен к нулю и найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Запишем разложение числителя: $(x - 2)(x - 3)$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов $x^2 - 3^2$, которую распишем по стандартной школьной формуле: $(x - 3)(x + 3)$. Подставим полученные множители в выражение под знак предела:
$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}$$
Сократим общую критическую скобку $(x - 3)$, которая создавала нулевую особенность в точке:
$$\lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x + 3}$$
Теперь повторно применим метод прямой подстановки, подставив число три вместо оставшихся переменных:
$$\frac{3 - 2}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$
Ответ. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \frac{1}{6}$
Пример 2
Найдите предел выражения: $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 - x - 6}$
Решение:
Подставим предельное значение $x = -2$ в числитель и знаменатель дроби:
$$\frac{2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 2}{(-2)^2 - (-2) - 6} = \frac{8 - 6 - 2}{4 + 2 - 6} = \left[\frac{0}{0}\right]$$
Для устранения неопределённости разложим квадратные трёхчлены на линейные множители. Найдём корни числителя через дискриминант: $2x^2 + 3x - 2 = 0$:
$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$
$$x_1 = \frac{-3 + 5 = 2 = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$$
Разложение числителя принимает вид: $2 \cdot (x - 0{,}5)(x + 2) = (2x - 1)(x + 2)$.
Теперь найдём корни знаменателя $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета. Корнями являются числа $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Разложение знаменателя: $(x - 3)(x + 2)$. Запишем наш предел в преобразованном числовом виде:
$$\lim_{x \to -2} \frac{(2x - 1)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)}$$
Сократим критический множитель $(x + 2)$ в числителе и знаменателе, после чего вычислим предел подстановкой:
$$\lim_{x \to -2} \frac{2x - 1}{x - 3} = \frac{2 \cdot (-2) - 1}{-2 - 3} = \frac{-4 - 1}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$
Ответ. $\lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 - x - 6} = 1$
Пример 3
Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 + 2x - 2}{x^2 - 1}$
Решение:
Прямая подстановка единицы даёт нулевые значения в обеих частях дроби, то есть неопределённость $\left[\frac{0}{0}\right]$. Разложим числитель на множители методом группировки слагаемых. Сгруппируем элементы попарно:
$$x^3 - x^2 + 2x - 2 = x^2(x - 1) + 2(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 2)$$
Знаменатель разложим по школьной формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Подставим результаты группировки в исходное выражение:
$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + 2)}{(x - 1)(x + 1)}$$
Сократим общую для обеих частей скобку $(x - 1)$ и завершим расчёт числового выражения методом подстановки:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2}{x + 1} = \frac{1^2 + 2}{1 + 1} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$
Ответ. $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 + 2x - 2}{x^2 - 1} = 1{,}5$