Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел — это простая математическая операция, при которой из двух чисел получается одно новое. То, как именно их перемножать, полностью зависит от формы, в которой они записаны. Всего таких форм три: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Главный плюс этой операции в том, что комплексные числа можно менять местами и группировать в любом удобном порядке — результат от этого не изменится.
Алгебраическая форма
Обычная алгебраическая форма — это выражения с буквой $i$ (например, $2 + 3i$). Чтобы найти произведение таких чисел, их последовательно перемножают по правилам раскрытия скобок, заменяют квадрат мнимой единицы на минус единицу ($i^2 = -1$) и группируют получившиеся части:
$$z_1 \cdot z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Записать числа друг за другом в скобках и поочередно перемножить каждый член первой скобки на каждый член второй.
- Найти слагаемое с $i^2$ и заменить этот $i^2$ на $-1$, перевернув знак перед числом на противоположный.
- Сложить обычные числа с обычными числами (действительную часть), а компоненты с буквой $i$ — с компонентами с буквой $i$ (мнимую часть).
Частые случаи при умножении:
- Умножение сопряжённых чисел (когда скобки одинаковые, но отличаются знаком в середине: $(x + iy)(x - iy)$): здесь даже скобки раскрывать не надо. Ответ всегда будет обычным положительным числом, которое считается по формуле: $x^2 + y^2$.
- Умножение на чисто мнимое число (просто на выражение с $i$, например $iy$): аккуратно умножайте этот одночлен на каждую часть скобки, не забывая, что $i \cdot i = -1$.
Пример 1
Найдите произведение комплексных чисел $z_1 = 2 + 3i$ и $z_2 = 1 - 4i$
Решение:
Запишем наши числа в скобках и раскроем их по обычным правилам алгебры:
$$z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 4i$$
Посчитаем результаты умножения в каждом кусочке. Обратите внимание на самый последний член, где у нас получилось произведение мнимых единиц:
$$z_1 \cdot z_2 = 2 - 8i + 3i - 12i^2$$
Теперь превращаем $i^2$ в $-1$. Из-за этого наше число $-12i^2$ превращается в обычное $+12$. После этого считаем отдельно обычные числа ($2 + 12$) и отдельно кусочки с буквой $i$ ($-8i + 3i$):
$$z_1 \cdot z_2 = 2 - 5i - 12 \cdot (-1) = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i$$
Ответ. $z_1 \cdot z_2 = 14 - 5i$
Тригонометрическая форма
Тригонометрическая форма (где в записи стоят косинусы и синусы) идеально спасает, когда исходные числа громоздкие. Чтобы умножить два таких числа, скобки раскрывать не нужно — достаточно перемножить их модули (числа перед скобками), а аргументы (углы) просто сложить между собой:
$$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)]$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Выписать модули $r_1, r_2$ (числа перед скобками) и аргументы $\varphi_1, \varphi_2$ (углы) для каждого числа из условий задачи.
- Перемножить модули между собой.
- Сложить углы внутри косинусов и синусов между собой в радианах.
- Записать готовое выражение. Если получившийся угол превысил границы круга, упростите его, вычтя или прибавив $2\pi$.
Пример 2
Вычислите произведение чисел, заданных в тригонометрическом виде: $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ и $z_2 = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$
Решение:
Действуем строго по нашему тригонометрическому правилу. Сначала выпишем данные: первый модуль равен $r_1 = 2$, его аргумент (угол) равен $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$. Для второго числа модуль равен $r_2 = 3$, а аргумент равен $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$.
Перемножаем модули, которые стоят перед скобками:
$$r = r_1 \cdot r_2 = 2 \cdot 3 = 6$$
Теперь просто складываем два наших угла. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:
$$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$
Собираем всё в итоговую формулу: ставим вперёд общий модуль $6$, а получившийся суммарный угол $\frac{\pi}{2}$ отправляем внутрь косинуса и синуса:
$$z_1 \cdot z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$
Ответ. $z_1 \cdot z_2 = 6(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$
Показательная форма
Показательная форма — это запись через экспоненту с буквой $e$ (например, $5e^{i\varphi}$). Чтобы перемножить такие числа, нужно перемножить их модули перед буквой $e$, а аргументы (углы) вверху над экспонентой — сложить, используя обычное школьное правило умножения степеней:
$$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Найдите модули перед экспонентами и показатели углов в условиях задачи.
- Перемножьте внешние коэффициенты (модули) между собой.
- Сложите углы, которые стоят вверху в показателе степени рядом с мнимой единицей $i$.
- Записать готовый ответ под одной общей буквой $e$.
Пример 3
Умножьте комплексные числа в показательной форме: $z_1 = 5e^{i\frac{\pi}{4}}$ и $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{2}}$
Решение:
Решаем задачу в два простейших шага. Сначала перемножаем обычные числа, стоящие перед экспонентами:
$$r = 5 \cdot 2 = 10$$
Теперь складываем показатели углов, которые находятся вверху над буквой $e$:
$$\varphi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$
Собираем финальное число: пишем получившуюся десятку, а общий аргумент $\frac{3\pi}{4}$ прописываем вверху над экспонентой:
$$z_1 \cdot z_2 = 10e^{i\frac{3\pi}{4}}$$
Ответ. $z_1 \cdot z_2 = 10e^{i\frac{3\pi}{4}}$