Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел — это арифметическая операция, результатом которой является новое комплексное число, представляющее собой отношение делимого к делителю. Алгоритм вычислений ультимативно зависит от формы представления чисел: в зависимости от этого операция сводится либо к домножению дроби на сопряжённое выражение, либо к делению модулей сомножителей и вычитанию их аргументов.
Алгебраическая форма
Обычная алгебраическая форма представляет собой выражения с мнимой единицей $i$ (например, $x + iy$). Основная сложность при делении таких чисел заключается в том, что в знаменателе дроби находится буква $i$. Чтобы избавиться от неё, используют проверенный алгебраический приём: и числитель, и знаменатель дроби одновременно домножают на комплексное число, сопряжённое знаменателю.
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(y_1x_2 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Записать деление комплексных чисел в виде обыкновенной дроби.
- Составить число, сопряжённое знаменателю (просто поменять знак перед буквой $i$ в нижней части дроби).
- Умножить и числитель, и знаменатель дроби на это сопряжённое число, заключив все выражения в скобки.
- Раскрыть скобки в числителе по правилам алгебраического умножения многочленов, а в знаменателе применить формулу сокращённого умножения (сумму квадратов $x_2^2 + y_2^2$).
- Заменить $i^2$ на $-1$, привести подобные слагаемые и почленно разделить числитель на получившееся в знаменателе действительное число, чтобы разделить действительную и мнимую части.
Пример 1
Разделите комплексное число $z_1 = 2 + 3i$ на $z_2 = 1 - i$
Решение:
Запишем операцию деления в виде обыкновенной дроби. Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, подберём к нему сопряжённое выражение. Для числа $1 - i$ сопряжённым будет число $1 + i$. Домножим на него числитель и знаменатель:
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 3i}{1 - i} = \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$$
Раскроем скобки в числителе по правилам алгебраического умножения многочленов, а в знаменателе воспользуемся формулой суммы квадратов коэффициентов действительной и мнимой частей:
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot i}{1^2 + (-1)^2} = \frac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 + 1}$$
Заменим квадрат мнимой единицы $i^2$ на число $-1$. Слагаемое $+3i^2$ превращается в $-3$. Сгруппируем обычные числа и слагаемые с буквой $i$:
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 5i - 3}{2} = \frac{-1 + 5i}{2}$$
Выполним почленное деление, чтобы привести результат к стандартному декартову виду:
$$\frac{z_1}{z_2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$
Ответ. $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$
Тригонометрическая форма
Тригонометрическая форма (запись через косинусы и синусы) идеально спасает от рутины с раскрытием скобок. Деление здесь выполняется мгновенно: модули комплексных чисел (внешние числа перед скобками) делятся друг на друга, а их аргументы (углы внутри скобок) — просто вычитаются.
$$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot [\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)]$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Выписать модули $r_1, r_2$ (числа перед скобками) и аргументы $\varphi_1, \varphi_2$ (углы) для каждого числа из условий задачи.
- Разделить внешний модуль числителя на модуль знаменателя, зафиксировав результирующий коэффициент перед скобкой.
- Найти разность аргументов, вычтя из угла числителя угол знаменателя.
- Записать итоговую тригонометрическую структуру. Если получившийся угол вылетел за границы стандартного полуинтервала $(-\pi; \pi]$, привести его к главному значению.
Пример 2
Вычислите частное комплексных чисел $z_1 = 6(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$ и $z_2 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$
Решение:
Воспользуемся каноническим тригонометрическим правилом. Сначала выпишем параметры: для первого числа модуль равен $r_1 = 6$, его аргумент (угол) равен $\varphi_1 = \frac{\pi}{2}$. Для второго числа модуль равен $r_2 = 2$, а угловая часть равна $\varphi_2 = \frac{\pi}{6}$.
Разделим внешний модуль числителя на модуль знаменателя:
$$r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{6}{2} = 3$$
Теперь найдём результирующий аргумент дроби, вычтя из первого угла второй. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:
$$\varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$
Подставим найденный модуль $3$ and разностный угол $\frac{\pi}{3}$ в финальную тригонометрическую структуру:
$$\frac{z_1}{z_2} = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
Ответ. $\frac{z_1}{z_2} = 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$
Показательная форма
Показательная форма представляет собой запись комплексного числа через экспоненту $e$ (например, $re^{i\varphi}$). Действие деления здесь полностью подчиняется стандартным законам школьной алгебры для работы со степенями: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели просто вычитаются друг из друга.
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Найдите модули перед экспонентами и показатели углов в условиях задачи.
- Найти частное внешних коэффициентов, разделив модуль числителя на модуль знаменателя.
- Вычесть из показателя степени числителя показатель степени знаменателя при мнимой единице $i$.
- Записать готовый ответ под единым основанием экспоненты $e$.
Пример 3
Найдите частное комплексных чисел в показательной форме: $z_1 = 8e^{i\frac{\pi}{3}}$ и $z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$
Решение:
Расчёт производится в два простейших шага. Сначала разделим обычные числа, стоящие перед основаниями экспонент:
$$r = \frac{8}{2} = 4$$
Теперь вычтем показатель угла знаменателя из показателя числителя дроби, находящихся вверху над буквой $e$:
$$\varphi = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$$
Собираем окончательное число справочника: пишем получившийся коэффициент $4$, а разностный аргумент $\frac{\pi}{12}$ прописываем вверху над основанием экспоненты:
$$\frac{z_1}{z_2} = 4e^{i\frac{\pi}{12}}$$
Ответ. $\frac{z_1}{z_2} = 4e^{i\frac{\pi}{12}}$