Перевод комплексного числа в показательную форму
Чтобы перевести комплексное число в показательную форму, необходимо последовательно найти две его главные характеристики: модуль (радиус $r$) и аргумент (угол $\varphi$).
Алгоритм перевода в показательную форму
Показательная форма комплексного числа имеет следующий вид:
$$z = r \cdot e^{i\varphi}$$
Где $r$ — это модуль комплексного числа, а $\varphi$ — его аргумент (угол, выраженный в радианах).
Пошаговый план действий:
- Найдите модуль ($r$): Используйте формулу $r = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть исходного числа $z = a + bi$.
- Определите координатную четверть: Посмотрите на знаки чисел $a$ и $b$, чтобы понять, где именно находится точка на комплексной плоскости.
- Вычислите аргумент ($\varphi$): Примените нужную формулу арктангенса в зависимости от четверти (например, для I четверти: $\varphi = \operatorname{arctg}(b/a)$).
- Запишите ответ: Подставьте найденные значения модуля $r$ и угла $\varphi$ в общую формулу $r \cdot e^{i\varphi}$.
Примеры решения задач с разбором
Пример 1. Перевод числа из первой четверти
Переведите комплексное число $z = 1 + i\sqrt{3}$ в показательную форму.
Найдём модуль комплексного числа ($r$):
$$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$Определим четверть. Так как $a = 1 > 0$ и $b = \sqrt{3} > 0$, точка лежит в I координатной четверти.
Найдём аргумент ($\varphi$):
$$\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$Запишем число в показательной форме, подставив значения модуля и угла в формулу:
$$z = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{3}}$$$z = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{3}}$
Пример 2. Перевод числа из второй четверти
Переведите комплексное число $z = -3 + 3i$ в показательную форму.
Найдём модуль комплексного числа ($r$). Выпишем коэффициенты: действительная часть $a = -3$, мнимая часть $b = 3$:
$$r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$Определим координатную четверть: так как $a = -3 < 0$ (ось $x$ влево), а $b = 3 > 0$ (ось $y$ вверх), точка лежит во II координатной четверти.
Вычислим аргумент ($\varphi$). Поскольку точка находится во второй четверти, мы обязаны использовать формулу со смещением на пи:
$$\varphi = \pi + \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)$$Подставим наши значения:
$$\varphi = \pi + \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{-3}\right) = \pi + \operatorname{arctg}(-1)$$Выносим минус из арктангенса за счет нечетности функции и приводим к общему знаменателю:
$$\varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$Запишем итоговый результат:
$$z = 3\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}$$$z = 3\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{3\pi}{4}}$
Пример 3. Перевод числа из третьей четверти (оба знака минус)
Переведите комплексное число $z = -1 - i$ в показательную форму.
Найдём модуль комплексного числа ($r$). Выпишем коэффициенты: действительная часть $a = -1$, мнимая часть $b = -1$:
$$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$Определим координатную четверть: так как $a = -1 < 0$ (ось $x$ влево) и $b = -1 < 0$ (ось $y$ вниз), точка лежит в III координатной четверти.
Вычислим аргумент ($\varphi$). Для третьей четверти используется формула со смещением на минус пи:
$$\varphi = -\pi + \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)$$Подставим наши значения:
$$\varphi = -\pi + \operatorname{arctg}\left(\frac{-1}{-1}\right) = -\pi + \operatorname{arctg}(1)$$Табличное значение $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Подставим его и приведем к общему знаменателю:
$$\varphi = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$$Запишем итоговый результат в показательной форме:
$$z = \sqrt{2} \cdot e^{-i\frac{3\pi}{4}}$$$z = \sqrt{2} \cdot e^{-i\frac{3\pi}{4}}$