Перевод комплексного числа в тригонометрическую форму
Тригонометрическая форма комплексного числа $z = a + bi$ имеет вид $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r = |z|$ — модуль, а $\varphi = \arg(z)$ — главное значение аргумента в интервале $(-\pi, \pi]$. Чтобы перейти к этой форме, нужно найти модуль и правильно определить аргумент с учётом четверти, в которой лежит число. Дальше — готовый алгоритм и типовые примеры.
Алгоритм решения
- Выпиши действительную и мнимую части: $a = \operatorname{Re}(z)$, $b = \operatorname{Im}(z)$.
- Найди модуль: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
- Определи четверть комплексной плоскости по знакам $a$ и $b$.
- Вычисли аргумент $\varphi$ с учётом четверти:
- I четверть ($a>0, b\ge 0$): $\varphi = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)$;
- II четверть ($a<0, b>0$): $\varphi = \pi + \operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)$ или $\varphi = \pi - \left|\operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)\right|$;
- III четверть ($a<0, b<0$): $\varphi = -\pi + \operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)$ или $\varphi = -\pi + \left|\operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)\right|$;
- IV четверть ($a>0, b<0$): $\varphi = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)$ (будет отрицательным).
- Если $a=0$ или $b=0$, используй особые случаи:
- $a=0, b>0$: $\varphi = \frac{\pi}{2}$;
- $a=0, b<0$: $\varphi = -\frac{\pi}{2}$;
- $b=0, a>0$: $\varphi = 0$;
- $b=0, a<0$: $\varphi = \pi$.
- Подставь найденные $r$ и $\varphi$ в формулу: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.
Примеры решений
Пример 1. I четверть, стандартный случай
Записать в тригонометрической форме:
$$z = 1 + \sqrt{3}i$$$a=1>0$, $b=\sqrt{3}>0$: число в I четверти, аргумент считается напрямую.
- $a = 1$, $b = \sqrt{3}$.
- Модуль: $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
- Четверть: I.
- Аргумент: $\varphi = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$.
- Тригонометрическая форма: $z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$.
В I четверти всё максимально просто: модуль по теореме Пифагора, аргумент — обычный арктангенс. Это базовый случай, с которого удобно начинать тренировку.
$$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
Пример 2. II четверть, нужна поправка к аргументу
Перевести в тригонометрическую форму:
$$z = -1 + \sqrt{3}i$$$a=-1<0$, $b=\sqrt{3}>0$: II четверть, арктангенс даст отрицательное значение, его нужно скорректировать.
- $a = -1$, $b = \sqrt{3}$.
- Модуль: $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
- Четверть: II.
- Считаем вспомогательное значение: $\operatorname{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = -\frac{\pi}{3}$. Корректируем: $\varphi = \pi + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.
- Тригонометрическая форма: $z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$.
Частая ошибка: оставить $\varphi = -\frac{\pi}{3}$, потому что так выдал калькулятор. Но во II четверти угол обязан быть положительным и больше $\frac{\pi}{2}$. Правило «$\pi + \text{arctg}$» как раз и исправляет эту ситуацию.
$$z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$$
Пример 3. На отрицательной вещественной оси
Записать в тригонометрической форме:
$$z = -5$$Число лежит строго на отрицательной вещественной полуоси — это особый случай, четверти не считаем.
- $a = -5$, $b = 0$.
- Модуль: $r = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5$.
- Особый случай: $b=0$, $a<0$, значит $\varphi = \pi$.
- Тригонометрическая форма: $z = 5(\cos\pi + i\sin\pi)$.
Когда $b=0$ и $a<0$, не пытайся считать арктангенс: получится неопределённость или неверный угол. Просто запомни: для отрицательных действительных чисел $\varphi=\pi$. Это экономит время и исключает ошибки.
$$z = 5(\cos\pi + i\sin\pi)$$