Аргумент комплексного числа
Аргумент комплексного числа $z = a + bi$ — это угол $\varphi$ между положительным направлением вещественной оси и радиус‑вектором точки $(a; b)$ на комплексной плоскости. Его находят по формуле с учётом четверти, в которой лежит число: $\varphi = \arg(z) = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)$ с поправкой на знаки $a$ и $b$. Дальше — готовый алгоритм и типовые случаи.
Алгоритм решения
- Запиши число в алгебраической форме: $z = a + bi$, где $a, b \in \mathbb{R}$.
- Определи четверть комплексной плоскости по знакам $a$ и $b$, чтобы выбрать правильную поправку к арктангенсу.
- Вычисли вспомогательное значение: $\alpha = \left|\operatorname{arctg}\!\left(\frac{b}{a}\right)\right|$ (если $a \ne 0$).
- Примени поправку в зависимости от четверти:
- I четверть ($a>0, b\ge 0$): $\varphi = \alpha$;
- II четверть ($a<0, b>0$): $\varphi = \pi - \alpha$;
- III четверть ($a<0, b<0$): $\varphi = -\pi + \alpha$ или $\varphi = \pi + \operatorname{arctg}(b/a)$;
- IV четверть ($a>0, b<0$): $\varphi = -\alpha$.
- Если $a=0$, используй особые случаи: $\arg(bi) = \frac{\pi}{2}$ при $b>0$ и $\arg(bi) = -\frac{\pi}{2}$ при $b<0$. Для $z=0$ аргумент не определён.
- Упрости ответ и при необходимости запиши в радианах (или градусах, если требуется).
Примеры решений
Пример 1. I четверть, стандартный случай
Найти главное значение аргумента комплексного числа:
$$z = 1 + \sqrt{3}i$$$a=1>0$, $b=\sqrt{3}>0$: число в I четверти, поправка не нужна.
- Форма: $z = 1 + \sqrt{3}i$.
- Определяем четверть: I.
- Считаем $\alpha = \operatorname{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$.
- Применяем правило: $\varphi = \alpha = \frac{\pi}{3}$.
- Ответ уже упрощён.
Запомни: если $a>0$ и $b\ge 0$, аргумент всегда равен просто $\operatorname{arctg}(b/a)$. Это частый типовой случай на контрольных — проверяют именно понимание базовой логики.
$$\arg(z) = \frac{\pi}{3}$$
Пример 2. II четверть, нужна поправка
Найти главное значение аргумента:
$$z = -1 + \sqrt{3}i$$$a=-1<0$, $b=\sqrt{3}>0$: II четверть, формула требует поправки.
- Форма: $z = -1 + \sqrt{3}i$.
- Определяем четверть: II.
- Считаем вспомогательный угол: $\alpha = \left|\operatorname{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)\right| = \frac{\pi}{3}$.
- Применяем поправку: $\varphi = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
- Упрощаем: $\frac{2\pi}{3}$ — окончательный ответ.
Частая ошибка: оставить $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Но во II четверти угол должен быть положительным и больше $\frac{\pi}{2}$. Правило «$\pi - \alpha$» как раз и нужно, чтобы «перекинуть» угол в нужную четверть.
$$\arg(z) = \frac{2\pi}{3}$$
Пример 3. IV четверть, отрицательный угол
Найти главное значение аргумента:
$$z = \sqrt{3} - i$$$a=\sqrt{3}>0$, $b=-1<0$: IV четверть, угол будет отрицательным.
- Форма: $z = \sqrt{3} - i$.
- Определяем четверть: IV.
- Считаем $\alpha = \left|\operatorname{arctg}\!\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\right| = \frac{\pi}{6}$.
- Применяем правило: $\varphi = -\alpha = -\frac{\pi}{6}$.
- Упрощаем: ответ $-\frac{\pi}{6}$ допустим как главное значение.
Не пытайся «сделать угол положительным» и не прибавляй $2\pi$ без требования задачи. Главное значение аргумента лежит в интервале $(-\pi, \pi]$, и $-\frac{\pi}{6}$ — абсолютно корректный ответ.
$$\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$$
Пример 4. На вещественной или мнимой оси
Найти главное значение аргумента:
$$z = -4i$$Число лежит на отрицательной мнимой полуоси: используем особый случай.
- Форма: $z = 0 - 4i$.
- $a=0$, $b<0$: это особый случай, четверти не считаем.
- По правилу: $\arg(-4i) = -\frac{\pi}{2}$.
- Никаких дополнительных вычислений не требуется.
- Ответ готов.
Когда $a=0$, арктангенс не работает (деление на ноль), поэтому сразу используй особые случаи. Для отрицательных мнимых чисел аргумент всегда $-\frac{\pi}{2}$, для положительных — $\frac{\pi}{2}$. Это стоит запомнить отдельно, чтобы не терять время.
$$\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$$