Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа $z = a + bi$ — это расстояние от начала координат до точки, которая изображает данное число на комплексной плоскости.
Модуль обозначается прямыми скобками $|z|$. Так как расстояние не бывает со знаком минус, значение модуля всегда больше или равно нулю ($|z| \ge 0$).
Чтoбы найти модуль комплексного числа $z = a + bi$, нужно воспользоваться формулой: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Алгоритм вычисления:
- Выпишите коэффициенты $a$ и $b$ без буквы $i$.
- Возведите оба числа в квадрат: $a^2$ и $b^2$.
- Сложите полученные квадраты: $a^2 + b^2$.
- Извлеките квадратный корень: $\sqrt{a^2 + b^2}$.
Примеры решения задач
Пример 1
Найдите модуль комплексного числа $z = 3 - 4i$
Решение:
Выпишем числа для формулы: $a = 3$, $b = -4$. Букву $i$ мы не берем.
Подставим эти значения в нашу формулу модуля:
$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$Посчитаем квадраты чисел и сложим их под корнем:
$$ |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$Ответ. $|z| = 5$
Пример 2
Вычислите модуль комплексного числа $z = -2 - 4i$.
Решение:
Выпишем числа для расчета: $a = -2$, $b = -4$.
Подставим их под знак квадратного корня:
$$ |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} $$Корень из числа 20 нацело не извлекается. Разложим его на части и вынесем четверку наружу:
$$ |z| = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $$Ответ. $|z| = 2\sqrt{5}$
Пример 3
Определите модуль комплексного числа $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
Решение:
Выпишем нужные нам числа: $a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Возведем обе дроби в квадрат по обычным правилам алгебры:
$$ |z| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} $$Сложим полученные дроби и найдем окончательный ответ:
$$ |z| = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1 $$Ответ. $|z| = 1$