Сложение и вычитание комплексных чисел
Сложение и вычитание комплексных чисел — это базовые арифметические операции, результатом которых является новое комплексное число, представляющее собой сумму или разность исходных величин. Алгоритм вычислений ультимативно зависит от формы представления чисел: в зависимости от этого операции сводятся либо к независимому покомпонентному сложению и вычитанию действительных и мнимых частей, либо к предварительному переводу выражений в алгебраическую форму записи.
Содержание:
Сложение в алгебраической форме
Обычная алгебраическая форма представляет собой выражения с мнимой единицей $i$ (например, $x + iy$). Чтобы найти сумму таких чисел, необходимо складывать их строго покомпонентно. Действительные части складываются с действительными, а мнимые коэффициенты — с мнимыми, что математически описывается следующей формулой:
$$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Записать сумму двух комплексных выражений, заключив каждое из них в скобки.
- Раскрыть скобки, сохраняя исходные знаки плюс и минус перед всеми коэффициентами.
- Сгруппировать подобные слагаемые, отдельно сложив действительные числа и отдельно — коэффициенты при мнимой единице $i$.
Пример 1
Найти сумму комплексных чисел $z_1 = 5 - 2i$ и $z_2 = -3 + 6i$
Решение:
Составим сумму двух заданных выражений. Раскроем скобки, аккуратно сохраняя знаки плюс и минус перед числовыми коэффициентами сомножителей:
$$z_1 + z_2 = (5 - 2i) + (-3 + 6i) = 5 - 2i - 3 + 6i$$
Сгруппируем действительные части с действительными, а мнимые компоненты — с мнимыми. Выполним окончательные арифметические расчёты:
$$z_1 + z_2 = (5 - 3) + i(-2 + 6) = 2 + 4i$$
Ответ. $z_1 + z_2 = 2 + 4i$
Вычитание в алгебраической форме
Вычитание комплексных чисел в декартовой форме выполняется по аналогичному покомпонентному принципу. Главная особенность операции заключается в необходимости строгого контроля знаков: минус перед второй скобкой меняет знаки всех внутренних компонентов вычитаемого на противоположные.
$$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Записать разность выражений, заключив уменьшаемое и вычитаемое в скобки.
- Раскрыть скобки, изменив знаки всех слагаемых внутри второй скобки на противоположные.
- Провести приведение подобных членов, отдельно вычислив итоговую действительную и мнимую части.
Пример 2
Найти разность комплексных чисел $z_1 = 4 + 3i$ число $z_2 = 2 - 5i$
Решение:
Запишем разность двух заданных чисел в скобках. Раскроем скобки, при этом знаки всех компонентов внутри второй скобки изменятся на противоположные из-за минуса перед ней:
$$z_1 - z_2 = (4 + 3i) - (2 - 5i) = 4 + 3i - 2 + 5i$$
Произведём покомпонентное вычитание действительных долей и сложение мнимых коэффициентов у получившегося уравнения:
$$z_1 - z_2 = (4 - 2) + i(3 + 5) = 2 + 8i$$
Ответ. $z_1 - z_2 = 2 + 8i$
Если комплексные числа в других формах
В тригонометрической и показательной формах прямое покомпонентное сложение или вычитание математически невозможно, так как знаки плюс и минус нарушают структуру угловых экспонент. Чтобы найти сумму или разность таких чисел, их необходимо предварительно перевести в стандартную алгебраическую форму. С геометрической точки зрения сложение комплексных векторов на плоскости полностью подчиняется классическому правилу параллелограмма.
$$z_3 = (r_1\cos\varphi_1 + r_2\cos\varphi_2) + i(r_1\sin\varphi_1 + r_2\sin\varphi_2)$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Вычислить действительные части сомножителей через косинусы заданных аргументов.
- Вычислить мнимые коэффициенты сомножителей через синусы соответствующих углов.
- Записать получившиеся числа в алгебраической форме и выполнить стандартное покомпонентное сложение или вычитание.
Пример 3
Сложить числа, заданных в тригонометрическом виде: $z_1 = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$ и $z_2 = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$
Решение:
Прямое сложение в тригонометрической форме невыполнимо, поэтому переведём оба числа в алгебраический вид, вычислив значения тригонометрических функций. Найдём компоненты для первого числа:
$$z_1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + i\sqrt{3}$$
Вычислим точные табличные значения декартовых координат для второго числа:
$$z_2 = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{2} + i\frac{2}{2} = 1 + i$$
Теперь, когда оба числа приведены к каноническому декартову виду, выполним их покомпонентное сложение по стандартному алгоритму решения:
$$z_1 + z_2 = (1 + i\sqrt{3}) + (1 + i) = (1 + 1) + i(\sqrt{3} + 1) = 2 + i(\sqrt{3} + 1)$$
Ответ. $z_1 + z_2 = 2 + i(\sqrt{3} + 1)$