Пределы с корнями

Пример 1

Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Решение:

Прямая подстановка дает неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{x} + 2)$:

$$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}$$

Свернем числитель по формуле разности квадратов: $(\sqrt{x})^2 - 2^2 = x - 4$. Получаем предел:

$$\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}$$

Сократим общую скобку $(x - 4)$, устраняя нулевую особенность в точке, и подставим предельное число:

$$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ. $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = 0{,}25$

Пример 2

Найдите предел выражения: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

Решение:

Прямая подстановка нуля дает стандартную неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Сопряженным выражением для знаменателя является сумма $(\sqrt{x + 1} + 1)$. Домножим числитель и знаменатель на эту структуру:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x + 1} + 1)}{(\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}$$

Раскроем скобки в знаменателе по правилу разности квадратов, убирая корень: $(\sqrt{x + 1})^2 - 1^2 = x + 1 - 1 = x$. Запишем полученную дробь:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x + 1} + 1)}{x}$$

Сократим переменную $x$ в числителе и знаменателе, ликвидируя нулевую особенность в точке, и найдем точный ответ методом подстановки:

$$\lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 1} + 1) = \sqrt{0 + 1} + 1 = 1 + 1 = 2$$

Ответ. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = 2$

Пример 3

Вычислите предел функции: $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x^2 - 49}$

Решение:

Подстановка семерки дает нулевые значения в числителе и знаменателе, то есть неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$. Сопряженным элементом для числителя выступает сумма $(\sqrt{x + 2} + 3)$. Домножим на нее верхнюю и нижнюю части дроби:

$$\lim_{x \to 7} \frac{(\sqrt{x + 2} - 3)(\sqrt{x + 2} + 3)}{(x^2 - 49)(\sqrt{x + 2} + 3)}$$

В числителе сворачиваем разность квадратов: $(\sqrt{x + 2})^2 - 3^2 = x + 2 - 9 = x - 7$. В знаменателе разложим многочлен по школьной формуле разности квадратов как $(x - 7)(x + 7)$. Подставим результаты в предел:

$$\lim_{x \to 7} \frac{x - 7}{(x - 7)(x + 7)(\sqrt{x + 2} + 3)}$$

Сократим общую критическую скобку $(x - 7)$ и закроем расчет числового выражения методом подстановки:

$$\lim_{x \to 7} \frac{1}{(x + 7)(\sqrt{x + 2} + 3)} = \frac{1}{(7 + 7)(\sqrt{7 + 2} + 3)} = \frac{1}{14 \cdot (3 + 3)} = \frac{1}{14 \cdot 6} = \frac{1}{84}$$

Ответ. $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} - 3}{x^2 - 49} = \frac{1}{84}$

Пример 4

Вычислите предел функции на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - x)$

Решение:

Прямая подстановка бесконечности даёт разность двух неограниченно растущих величин, то есть неопределённость $[\infty - \infty]$. Исходное выражение не имеет знаменателя, поэтому сопряжённое умножение здесь применяется для искусственного создания дроби.

Домножим и разделим всё выражение на сопряжённую сумму $(\sqrt{x^2 + 4x} + x)$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - x)(\sqrt{x^2 + 4x} + x)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}$$

В числителе сворачиваем разность квадратов и полностью ликвидируем знаки радикалов: $(\sqrt{x^2 + 4x})^2 - x^2 = x^2 + 4x - x^2 = 4x$. Получаем дробный предел:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}$$

Задача трансформировалась в классическую неопределённость $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Найдём старшую степень переменной. Под корнем максимальной степенью является $x^2$, что при извлечении эквивалентно первой степени $x$. Почленно разделим числитель и знаменатель на $x$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2}} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1}$$

Устремим икс к бесконечности. Дробь $\frac{4}{x}$ стремится к нулю. Вычислим финальный числовой ответ:

$$\frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ. $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - x) = 2$

Пример 5

Найдите предел на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1})$

Решение:

Подстановка бесконечности приводит к неопределенности $[\infty - \infty]$. Сопряженной структурой для разности двух радикалов выступает их сумма. Умножим и разделим выражение на сопряженное выражение $(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1})$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1})(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}}$$

Раскроем скобки в числителе по правилу разности квадратов. Знаки корней полностью уничтожаются, при этом важно аккуратно раскрыть внутренние знаки второй скобки:

$$(\sqrt{x^2 + 1})^2 - (\sqrt{x^2 - 1})^2 = (x^2 + 1) - (x^2 - 1) = x^2 + 1 - x^2 + 1 = 2$$

Запишем преобразованный дробный предел:

$$\lim_{x \to \infty} \frac 2{\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}}$$

Перейдем к пределу. В числителе стоит постоянное число два, а знаменатель дроби при стремлении икса к бесконечности неограниченно возрастает. Деление конечной константы на бесконечно большую величину дает в результате ноль:

$$\frac 2\infty = 0$$

Ответ. 0