Правило Лопиталя
Правило Лопиталя — это метод вычисления пределов, основанный на использовании производных. Применяется для раскрытия неопределенностей вида $\left[\frac{0}{0}\right]$ и $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$.
Метод заключается в том, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных:
$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Если после первого дифференцирования неопределенность сохраняется, правило можно применить повторно.
Пошаговый алгоритм решения
- Проверить подстановкой, что предел действительно дает неопределенность ноль на ноль или бесконечность на бесконечность.
- Найти производную числителя отдельно и производную знаменателя отдельно.
- Записать новый предел от полученного отношения производных и упростить получившуюся дробь.
- Повторно подставить предельное число в преобразованное выражение.
- Вычислить числовой ответ, либо применить правило еще раз, если неопределенность осталась.
Примеры решений задач
Пример 1
Вычислите предел функции по правилу Лопиталя: $\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{\ln(1 + 2x)}$
Решение:
Прямая подстановка нуля вместо переменной дает нам $e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ в числителе и $\ln(1) = 0$ в знаменателе. Мы имеем неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$.
Найдем производные числителя и знаменателя по отдельности:
$$(e^{4x} - 1)' = 4e^{4x}$$
$$(\ln(1 + 2x))' = \frac{1}{1 + 2x} \cdot (1 + 2x)' = \frac{2}{1 + 2x}$$
Запишем наш предел в обновленном виде:
$$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{4x}}{\frac{2}{1 + 2x}}$$
Избавимся от трехэтажности дроби, перекинув нижний знаменатель наверх, и провем промежуточное сокращение коэффициентов:
$$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{4x} \cdot (1 + 2x)}{2} = \lim_{x \to 0} [2e^{4x} \cdot (1 + 2x)]$$
Проводим финишную подстановку нуля и рассчитываем точный ответ:
$$2e^0 \cdot (1 + 2 \cdot 0) = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$$
Ответ. 2
Пример 2
Найдите предел выражения: $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 12x + 16}$
Решение:
Подставим двойку в выражение: в числителе выходит $8 - 16 + 8 = 0$, в знаменателе $8 - 24 + 16 = 0$. Столкнувшись с неопределенностью $\left[\frac{0}{0}\right]$, запускаем первый круг правила Лопиталя — берем производные от многочленов:
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x^3 - 4x^2 + 4x)'}{(x^3 - 12x + 16)'} = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 8x + 4}{3x^2 - 12}$$
Проверим, исчезла ли проблема, подставив двойку еще раз. Вверху получаем $12 - 16 + 4 = 0$, внизу $12 - 12 = 0$. Неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$ устояла. Запускаем правило Лопиталя повторно (дифференцируем новые многочлены):
$$\lim_{x \to 2} \frac{(3x^2 - 8x + 4)'}{(3x^2 - 12)'} = \lim_{x \to 2} \frac{6x - 8}{6x}$$
Проводим третью попытку подстановки. Теперь в числителе и знаменателе формируются обычные числовые значения без особенностей:
$$\frac{6 \cdot 2 - 8}{6 \cdot 2} = \frac{12 - 8}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$
Ответ. $\frac{1}{3}$
Пример 3
Вычислите предел функции на бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x}{\ln^2 x}$
Решение:
При устремлении икса к бесконечности числитель и знаменатель дроби растут без ограничений, порождая неопределенность $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Дифференцируем верхнюю и нижнюю части дроби. В знаменателе раскрываем квадрат функции как $2\ln x \cdot (\ln x)'$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 3x)'}{(\ln^2 x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 3}{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}$$
Избавимся от переменной в подвале дроби, домножив весь числитель на $x$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x(2x - 3)}{2\ln x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 3x}{2\ln x}$$
Подстановка снова дает неопределенность $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$. Применяем правило Лопиталя второй раз:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2 - 3x)'}{(2\ln x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x - 3}{\frac{2}{x}}$$
Снова поднимаем икс из подвала наверх, перемножая числитель:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x(4x - 3)}{2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 3x}{2}$$
Переходим к финальному пределу. Знаменатель равен константе 2, а числитель при $x \to \infty$ неограниченно растет вверх. Деление бесконечно большой величины на двойку дает бесконечный результат:
$$\frac{\infty}{2} = \infty$$
Ответ. $\infty$