Решение уравнений с комплексными числами
Решение уравнений с комплексными числами — это поиск таких значений переменных, при которых исходное равенство становится верным. Алгоритм расчёта полностью зависит от вида самого уравнения. Главный плюс комплексных чисел в том, что здесь всегда можно извлечь корень любой степени и найти решение для любого полинома, так как для мнимых единиц не существует ограничений на отрицательный дискриминант или знаки под радикалом.
Квадратные уравнения
Классические квадратные уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ на множестве комплексных чисел решаются по стандартным школьным формулам. Главное и единственное отличие заключается в ситуации, когда дискриминант получается строго отрицательным ($D < 0$). В вещественных числах такое уравнение не имеет решений, но в комплексной плоскости из отрицательного дискриминанта извлекается мнимый корень с использованием равенства $\sqrt{-1} = i$.
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Выписать коэффициенты $a$, $b$ и $c$ квадратного уравнения и рассчитать дискриминант по канонической формуле $D = b^2 - 4ac$.
- Если дискриминант меньше нуля, зафиксировать его абсолютное значение по модулю $|D|$, вынеся мнимую единицу $i$ за знак радикала.
- Подставить полученные значения в стандартную общую формулу корней и вычислить две сопряжённые комплексные переменные.
Пример 1
Решите квадратное уравнение $x^2 - 4x + 13 = 0$
Решение:
Выпишем числовые коэффициенты заданного уравнения для расчёта его параметров: $a = 1$, $b = -4$, $c = 13$. Вычислим дискриминант по стандартной школьной формуле:
$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$$
Поскольку полученный дискриминант строго меньше нуля, уравнение имеет два сопряжённых комплексных корня. Извлечём корень из отрицательного числа, представив его через мнимую единицу по правилу $\sqrt{-36} = i\sqrt{36} = 6i$:
$$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2}$$
Выполним почленное деление числителя на знаменатель дроби, чтобы разделить полученный результат на чёткую действительную и мнимую части:
$$x_1 = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i, \quad x_2 = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$$
Ответ. $x_1 = 2 + 3i, \quad x_2 = 2 - 3i$
Системы уравнений
Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами содержат мнимые элементы при переменных и решаются стандартными методами линейной алгебры. Для расчёта таких систем одинаково эффективно применимы метод подстановки, метод пошагового исключения переменных Гаусса или каноническое матричное правило Крамера через определители.
$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}, \quad w = \frac{\Delta_w}{\Delta}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Выбрать одну из переменных и выразить её коэффициент через остальные элементы уравнения (при методе подстановки) либо составить главный определитель системы.
- Выполнить алгебраические операции сложения, вычитания или умножения комплексных чисел для упрощения структуры уравнений.
- Найти финальные значения неизвестных переменных и записать их в виде упорядоченной пары комплексных координат.
Пример 2
Решите систему уравнений с комплексными переменными методом подстановки:
$$\begin{cases} z + iw = 1 \\ iz + 2w = i \end{cases}$$
Решение:
Для нахождения неизвестных выразим переменную $z$ из первого уравнения системы, перенеся слагаемое с мнимой единицей в правую часть равенства:
$$z = 1 - iw$$
Подставим полученное выражение вместо переменной $z$ во второе уравнение системы и аккуратно раскроем скобки по правилам распределительного закона:
$$i(1 - iw) + 2w = i \Rightarrow i - i^2w + 2w = i$$
Заменим квадрат мнимой единицы $i^2$ на действительное число $-1$. Наше слагаемое $-i^2w$ превращается в $+w$. Запишем получившееся уравнение:
$$i + w + 2w = i \Rightarrow i + 3w = i$$
Перенесём мнимую единицу $i$ в правую часть равенства со знаком минус и определим значение первой неизвестной переменной системы:
$$3w = i - i \Rightarrow 3w = 0 \Rightarrow w = 0$$
Теперь подставим найденное нулевое значение переменной $w$ в уравнение связи для нахождения окончательного параметра $z$:
$$z = 1 - i \cdot 0 = 1$$
Ответ. $z = 1, \quad w = 0$
Уравнения высших степеней
Чисто степенные уравнения высших порядков вида $z^n = c$ представляют собой задачу на полное нахождение всех корней n-й степени из комплексной константы. Согласно фундаментальной теореме алгебры, такие уравнения имеют ровно $n$ решений, а их расчёт ультимативно требует предварительного перевода правой части равенства в тригонометрическую геометрию для последующего применения формулы Муавра.
$$z_k = \sqrt[n]{r} \cdot \left[ \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right]$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Перевести комплексную константу в правой части уравнения из алгебраической формы в тригонометрическую, рассчитав её модуль и аргумент.
- Применить общую формулу Муавра для извлечения корня степени $n$.
- Последовательно подставить вместо индекса $k$ целые числа от $0$ до $n-1$, зафиксировав все уникальные корни уравнения.
Пример 3
Найдите все корни уравнения $z^3 = -8$
Решение:
Для нахождения всех корней третьей степени переведём действительное число $-8$ в тригонометрическую форму. Модуль этого числа равен расстоянию до начала координат $r = 8$, а аргумент (угол направления на отрицательной полуоси) равен $\varphi = \pi$. Запишем число:
$$-8 = 8(\cos\pi + i\sin\pi)$$
Применим формулу Муавра для извлечения корня третьей степени ($n = 3$). Арифметический корень из модуля равен $\sqrt[3]{8} = 2$. Запишем общую структуру для расчёта всех углов:
$$z_k = 2 \cdot \left[ \cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) \right]$$
Поочерёдно подставим значения индекса $k$ от $0$ до $2$, чтобы зафиксировать все три корня уравнения. Рассчитаем первый корень для $k = 0$:
$$z_0 = 2 \cdot \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 + i\sqrt{3}$$
Вычислим тригонометрические параметры и координаты для второго корня при индексе $k = 1$:
$$z_1 = 2 \cdot \left( \cos\frac{\pi + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi}{3} \right) = 2 \cdot (\cos\pi + i\sin\pi) = 2 \cdot (-1 + i \cdot 0) = -2$$
Определим числовые параметры для финального третьего корня уравнения при индексе $k = 2$:
$$z_2 = 2 \cdot \left( \cos\frac{\pi + 4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi + 4\pi}{3} \right) = 2 \cdot \left( \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} \right)$$
Приведём угол к главному значению на круге, вычтя период $2\pi$, и запишем канонический ответ: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$:
$$z_2 = 2 \cdot \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 1 - i\sqrt{3}$$
Ответ. $z_0 = 1 + i\sqrt{3}, \quad z_1 = -2, \quad z_2 = 1 - i\sqrt{3}$