Извлечение корня из комплексного числа
Извлечение корня из комплексного числа — это алгебраическая операция, результатом которой является целое множество новых комплексных чисел, возведение любого из которых в заданную степень возвращает исходное выражение. Алгоритм вычислений базируется на геометрических свойствах плоскости: в отличие от вещественной арифметики, корень степени $n$ из комплексного числа всегда имеет ровно $n$ уникальных значений, которые при графическом отображении образуют вершины правильного многоугольника.
Алгебраическая форма
Обычная алгебраическая форма представляет собой выражения с мнимой единицей $i$ (например, $x + iy$). Нахождение корней в данном виде оправдано исключительно для квадратных корней ($n = 2$), так как операция сводится к решению системы двух нелинейных уравнений. Для извлечения корней более высоких степеней этот метод становится слишком громоздким, из-за чего числа переводят в тригонометрическую геометрию.
$$\sqrt{x + iy} = a + ib \Rightarrow \begin{cases} a^2 - b^2 = x \\ 2ab = y \end{cases}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Приравнять искомый корень к неизвестному комплексному числу $a + ib$.
- Возвести обе части получившегося уравнения в квадрат и составить систему уравнений, приравняв действительные и мнимые части по отдельности.
- Выразить переменную $b$ через $a$ из второго уравнения и подставить её в первое.
- Решить получившееся биквадратное уравнение, отбросить посторонние отрицательные корни для $a^2$ и найти все пары действительных коэффициентов $a$ и $b$.
Пример 1
Извлеките квадратный корень из комплексного числа $z = 3 + 4i$
Решение:
Пусть искомый корень равен неизвестному числу $a + ib$. Возведём обе части равенства в квадрат и раскроем скобки в правой части выражения:
$$3 + 4i = (a + ib)^2 = a^2 + 2abi + i^2b^2 = a^2 - b^2 + 2abi$$
Приравняем друг к другу действительные части и мнимые коэффициенты получившегося уравнения, составив систему уравнений:
$$\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = 4 \end{cases}$$
Из второго уравнения выразим переменную $b$ через параметр $a$, получив простую связь: $b = \frac{2}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$$a^2 - \left(\frac{2}{a}\right)^2 = 3 \Rightarrow a^2 - \frac{4}{a^2} = 3 \Rightarrow a^4 - 3a^2 - 4 = 0$$
Решим биквадратное уравнение относительно $a^2$. Корнями являются числа $4$ and $-1$. Поскольку переменная $a$ должна быть строго действительным числом, её квадрат не может быть отрицательным, поэтому корень $-1$ отбрасываем. Получаем два значения для первой координаты:
$$a^2 = 4 \Rightarrow a_1 = 2, \quad a_2 = -2$$
Подставим найденные параметры в уравнение связи, чтобы определить сопутствующие мнимые коэффициенты $b$:
$$b_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad b_2 = \frac{2}{-2} = -1$$
Формируем два окончательных комплексных ответа справочника, подставив найденные пары чисел:
$$w_1 = 2 + i, \quad w_2 = -2 - i$$
Ответ. $w_1 = 2 + i, \quad w_2 = -2 - i$
Тригонометрическая форма
Тригонометрическая форма (запись через косинусы и синусы) является универсальным и самым мощным инструментом для нахождения корней абсолютно любых степеней. Расчёт выполняется по канонической тригонометрической формуле Муавра: из исходного модуля (числа перед скобками) извлекается обычный корень, а исходный аргумент (угол) делится на показатель степени с последовательным добавлением периода $2\pi k$.
$$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot \left[ \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right], \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Выписать или предварительно рассчитать модуль $r$ и главный аргумент $\varphi$ исходного комплексного числа.
- Извлечь арифметический корень степени $n$ из модуля $r$, зафиксировав общий коэффициент перед тригонометрической скобкой.
- Найти аргументы всех корней, последовательно подставляя вместо переменной $k$ целые числа от $0$ до $n-1$.
- Записать все получившиеся комплексные выражения. При необходимости упростить углы, приведя их к главному значению.
Пример 2
Найдите все значения корня третьей степени из комплексного числа $z = 8\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$
Решение:
Для нахождения всех корней применим тригонометрическую формулу Муавра. Выделим параметры: исходный модуль равен $r = 8$, аргумент составляет $\varphi = \frac{\pi}{2}$, а показатель степени равен $n = 3$. Извлечём корень из модуля:
$$\sqrt[3]{8} = 2$$
Запишем общую структуру для поиска углов, подставив наши данные в формулу Муавра:
$$w_k = 2 \cdot \left[ \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) \right] = 2 \cdot \left[ \cos\left(\frac{\pi + 4\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi k}{6}\right) \right]$$
Поочерёдно подставим значения переменной $k$ от $0$ до $2$, чтобы зафиксировать все три уникальных корня выражения. Начнём с расчёта для $k = 0$:
$$w_0 = 2 \cdot \left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right) = 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} + i$$
Выполним аналогичные тригонометрические подстановки и расчёты для индекса $k = 1$:
$$w_1 = 2 \cdot \left( \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$$
Рассчитаем финальный третий корень уравнения для индекса $k = 2$:
$$w_2 = 2 \cdot \left( \cos\frac{9\pi}{6} + i\sin\frac{9\pi}{6} \right) = 2 \cdot \left( \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} \right) = 2 \cdot (0 - i) = -2i$$
Ответ. $w_0 = \sqrt{3} + i, \quad w_1 = -\sqrt{3} + i, \quad w_2 = -2i$
Показательная форма
Показательная форма представляет собой компактную запись через экспоненту $e$ (например, $re^{i\varphi}$). Нахождение корней в этом виде полностью эквивалентно тригонометрическому методу, но записывается значительно короче благодаря свойствам степеней. Модуль выражения делят на показатель степени, а в верху над буквой $e$ формируют новое семейство угловых коэффициентов с шагом $2\pi k$.
$$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\varphi + 2\pi k}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Определить модуль $r$ перед экспонентой и аргумент $\varphi$ в показателе степени исходного выражения.
- Извлечь арифметический корень степени $n$ из числового коэффициента $r$.
- Сформировать показатели степеней результирующих экспонент дроби, поочерёдно подставляя числа $k$ от $0$ до $n-1$.
- Записать все найденные значения под единым основанием экспоненты $e$.
Пример 3
Найдите все значения корня второй степени из комплексного числа в показательной форме $z = 9e^{i\frac{\pi}{3}}$
Решение:
Расчёт производится для показателя $n = 2$, что гарантирует получение ровно двух ответов. Извлечём корень из внешнего модуля перед экспонентой:
$$\sqrt{9} = 3$$
Запишем общую экспоненциальную структуру, подставив параметры $r = 9$ и $\varphi = \frac{\pi}{3}$ под основание экспоненты $e$:
$$w_k = 3 \cdot e^{i\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{2}} = 3 \cdot e^{i\frac{\pi + 6\pi k}{6}}$$
Поочерёдно подставим индексы $k = 0$ и $k = 1$, чтобы зафиксировать оба корня уравнения. Вычислим первый показатель экспоненты для $k = 0$:
$$w_0 = 3 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}$$
Произведём аналогичный расчёт для финального второго значения при индексе $k = 1$:
$$w_1 = 3 \cdot e^{i\frac{\pi + 6\pi}{6}} = 3 \cdot e^{i\frac{7\pi}{6}}$$
Ответ. $w_0 = 3e^{i\frac{\pi}{6}}, \quad w_1 = 3e^{i\frac{7\pi}{6}}$