Возведение комплексного числа в степень
Возведение комплексных чисел в степень — это алгебраическая операция, результатом которой является новое комплексное число, представляющее собой произведение заданного числа на самого себя $n$ раз. Алгоритм вычислений зависит от формы представления чисел и величины показателя степени: в зависимости от этого операция сводится либо к непосредственному применению формулы бинома Ньютона, либо к использованию тригонометрической формулы Муавра и свойств экспоненты.
Алгебраическая форма
Обычная алгебраическая форма представляет собой выражения с мнимой единицей $i$ (например, $x + iy$). Возведение таких чисел в малые степени (квадрат или куб) выполняется по классическим формулам сокращённого умножения. Главной особенностью метода является последовательная замена чётных и нечётных степеней мнимой единицы по правилу: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.
$$(x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Записать выражение в скобках с нужным показателем степени.
- Применить соответствующую формулу сокращённого умножения (квадрат суммы или куб суммы) для раскрытия скобок.
- Найти все получившиеся степени мнимой единицы ($i^2, i^3$) и заменить их на соответствующие действительные или мнимые значения.
- Сгруппировать подобные слагаемые, отдельно вычислив итоговую действительную и мнимую части.
Частые случаи при возведении:
- Возведение в квадрат ($(x + iy)^2$): раскрывается как квадрат первого члена, плюс удвоенное произведение первого на второй, плюс квадрат второго члена (который из-за $i^2$ меняет знак на минус).
- Большие степени в алгебраической форме: если показатель степени велик (например, $z^{10}$), алгебраическую форму использовать нерационально, так как раскрытие скобок потребует громоздких вычислений по биному Ньютона. В таких случаях число переводят в тригонометрический вид.
Пример 1
Возведите комплексное число $z = 3 + 2i$ в квадрат
Решение:
Применим к заданному выражению стандартную формулу квадрата суммы. Аккуратно распишем квадрат первого числа, удвоенное произведение компонентов и квадрат второго члена:
$$z^2 = (3 + 2i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2$$
Выполним промежуточные арифметические расчёты. При возведении в квадрат мнимого компонента получаем произведение четверки и квадрата мнимой единицы:
$$z^2 = 9 + 12i + 4i^2$$
Заменим $i^2$ на его законное значение $-1$. Слагаемое $+4i^2$ превращается в действительное число $-4$. Произведём финальное сложение обычных чисел и выделим компоненты ответа:
$$z^2 = 9 + 12i + 4 \cdot (-1) = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i$$
Ответ. $z^2 = 5 + 12i$
Тригонометрическая форма
Тригонометрическая форма (запись через косинусы и синусы) идеально спасает от рутины раскрытия скобок, особенно при работе с большими степенями. Возведение в степень здесь выполняется мгновенно с помощью знаменитой формулы Муавра: модуль комплексного числа возводится в заданную степень, а его аргумент (угол) — просто умножается на этот показатель.
$$z^n = r^n \cdot [\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)]$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Выписать или предварительно рассчитать модуль $r$ и главный аргумент $\varphi$ комплексного числа.
- Возвести модуль $r$ в заданную степень $n$, формируя итоговый коэффициент перед скобкой.
- Умножить исходный угол $\varphi$ на показатель степени $n$, определив новый суммарный аргумент.
- Записать результат в тригонометрической структуре. Если получившийся угол превысил границы полуинтервала $(-\pi; \pi]$, привести его к главному значению путём вычитания или добавления целого числа оборотов $2\pi$.
Пример 2
Возведите комплексное число $z = 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$ в четвёртую степень
Решение:
Для проведения расчётов воспользуемся канонической формулой Муавра. Выделим параметры исходного числа: модуль равен $r = 2$, а тригонометрический аргумент составляет $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Показатель степени равен $n = 4$.
Возведём внешний модуль числа в четвёртую степень:
$$r^4 = 2^4 = 16$$
Теперь умножим исходный угол на показатель степени, находящийся перед функциями косинуса и синуса:
$$4\varphi = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$$
Подставим вычисленный модуль $16$ и новый аргумент $\pi$ в итоговую тригонометрическую структуру:
$$z^4 = 16(\cos\pi + i\sin\pi)$$
При необходимости переведём результат в алгебраическую форму, подставив табличные значения функций косинуса и синуса для угла пи:
$$z^4 = 16 \cdot (-1 + i \cdot 0) = -16$$
Ответ. $z^4 = -16$
Показательная форма
Показательная форма представляет собой запись комплексного числа через экспоненту $e$ (например, $re^{i\varphi}$). Возведение в степень в данном случае полностью подчиняется стандартным правилам школьной алгебры для действий со степенями: при возведении степени в степень внешнее числовой коэффициент (модуль) возводится в эту степень, а показатели степеней — перемножаются.
$$z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{in\varphi}$$
Пошаговый алгоритм решения:
- Определить модуль $r$ перед экспонентой и показатель угла $\varphi$ в верху над основанием экспоненты.
- Возвести модуль числа $r$ в заданную степень $n$.
- Умножить аргумент $\varphi$ на показатель степени $n$, сформировав новое значение вверху дроби рядом с мнимой единицей $i$.
- Записать готовый ответ под единым основанием экспоненты $e$.
Пример 3
Возведите комплексное число в показательной форме $z = 3e^{i\frac{\pi}{6}}$ в третью степень
Решение:
Выполним операцию экспоненциального возведения выражения в степень в два простых шага. Сначала возведём обычное число, стоящее перед основанием экспоненты, в куб:
$$r^3 = 3^3 = 27$$
Теперь умножим показатель угла, находящийся вверху над буквой $e$, на нашу степень:
$$3\varphi = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$
Собираем окончательное число справочника: пишем получившийся масштабный коэффициент $27$, а новый аргумент $\frac{\pi}{2}$ прописываем в показателе степени над буквой $e$:
$$z^3 = 27e^{i\frac{\pi}{2}}$$
Ответ. $z^3 = 27e^{i\frac{\pi}{2}}$