Классическое определение вероятности
В базовых задачах по теории вероятностей случайное событие — это любой исход испытания, который может произойти или не произойти. Чтобы рассчитать математическую вероятность конкретного события, используется классическая формула:
$$P(A) = \frac{m}{n}$$
Где $P(A)$ — искомая вероятность события, $n$ — общее число всех возможных и равновероятных исходов эксперимента, а $m$ — число только тех исходов, которые способствуют наступлению нашего события (благоприятные исходы). Результат вычисления всегда находится в строгих границах от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие).
Пошаговый алгоритм решения
- Проверить, что все исходы в задаче имеют абсолютно равные шансы на успех.
- Посчитать общее число всех возможных исходов эксперимента ($n$). Часто для этого используются комбинаторные формулы сочетаний или размещений.
- Четко сформулировать интересующее нас событие $A$ и подсчитать количество исходов, которые ему благоприятствуют ($m$).
- Разделить число благоприятных исходов на общее количество исходов по формуле.
- Сократить полученную дробь и перевести её в десятичный вид.
Примеры решений задач
Пример 1 (Задачи на кубики и монеты)
Бросаются две игральные кости (шестигранные кубики). Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет строго равна 9.
Решение:
Каждый кубик имеет 6 граней. При бросании двух кубиков общее число возможных исходов рассчитывается по правилу произведения:
$$n = 6 \cdot 6 = 36$$
Сформулируем событие $A$ — сумма очков на двух кубиках равна 9. Выпишем все пары чисел, которые в сумме дают девятку (на первом месте — очки первого кубика, на втором — второго): (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3).
Других вариантов нет. Посчитаем количество благоприятных исходов:
$$m = 4$$
Применим классическую формулу вероятности, разделив благоприятные варианты на общую массу исходов, и сократим полученную дробь:
$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$
Ответ. $\frac{1}{9}$
Пример 2 (Задачи на выборку и детали)
В коробке лежат 12 белых и 8 синих фломастеров, внешне абсолютно одинаковых. Наугад извлекают 3 фломастера. Какова вероятность того, что все три извлеченных фломастера окажутся синими?
Решение:
Посчитаем общее количество предметов в коробке: 12 + 8 = 20 фломастеров. Так как порядок извлечения нам не важен, общее число способов вытащить 3 фломастера из 20 определяется через комбинаторную формулу сочетаний:
$$n = C_{20}^3 = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 3 \cdot 19 \cdot 20 = 1140$$
Событие $A$ — все 3 выбранных фломастера синие. Нам нужно выбрать их исключительно из 8 синих фломастеров, лежащих в коробке:
$$m = C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 7 \cdot 8 = 56$$
Рассчитаем искомую вероятность события по классической формуле:
$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{56}{1140} = \frac{14}{285}$$
Ответ. $\frac{14}{285}$
Пример 3 (Задачи на распределение мест)
В группе учится 15 студентов, среди которых два друга — Андрей и Сергей. Группу случайным образом распределяют на три равные подгруппы по 5 человек в каждой для прохождения практики. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей попадут в одну подгруппу.
Решение:
Пусть Андрей уже занял любое случайное место в одной из трех подгрупп. Посчитаем общее число мест, оставшихся свободными во всей группе для Сергея:
$$n = 15 - 1 = 14$$
В той подгруппе, куда уже сел Андрей, осталось еще 4 свободных места. Это и есть количество исходов, благоприятных для Сергея, чтобы оказаться вместе с другом:
$$m = 5 - 1 = 4$$
Вычислим классическую вероятность того, что друзья будут распределены в одну и ту же технологическую команду:
$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$$
Ответ. $\frac{2}{7}$